Question

已知

a

=（1，2cosx），

b

=（sin（π-2x），

3

cosx），x∈R，且f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求f（

π

6

）；
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性,平面向量数量积的运算,三角函数的周期性及其求法

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）运用平面向量的数量积的坐标表示和三角恒等变换公式，即可得到f（x）=2sin（2x+

π

3

）+

3

求出函数值f（

π

6

）；
（Ⅱ）运用周期公式和正弦函数的单调增区间，即可得到．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=

a

•

b

=1×sin(π-2x)+2cosx×

3

cosx
∴f（x）=sin2x+2

3

cos²x=sin2x+

3

cos2x+

3

=2sin（2x+

π

3

）+

3

∴f（

π

6

）=2sin（

π

3

+

π

3

）+

3

=2×

3

2

+

3

=2

3

；
（Ⅱ）f（x）=2sin（2x+

π

3

）+

3

的最小正周期T=

2π

2

=π．
又由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

（k∈Z）
可得函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，和三角函数的周期和单调性及运用，同时考查平面向量的数量积的坐标表示，属于中档题．