Question

6．已知函数f（x）=|x|+|x+1|．
（1）若?x∈R，恒有f（x）≥λ成立，求实数λ的取值范围；
（2）若?m∈R，使得m²+2m+f（t）=0成立，试求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若?x∈R，恒有f（x）≥λ成立，求出f（x）的最小值，即可求实数λ的取值范围；
（2）?m∈R，使得m²+2m+f（t）=0成立，f（t）≤1，再分类讨论，即可求实数t的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=|x|+|x+1|≥1．
∵?x∈R，恒有f（x）≥λ成立，
∴λ≤1；
（2）由题意，f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{-2t-1，t＜-1}\\{1，-1≤t≤0}\\{2t+2，t＞0}\end{array}\right.$，
?m∈R，使得m²+2m+f（t）=0成立，
∴△=4-4f（t）≥0，
∴f（t）≤1，
t＜-1时，f（t）=-2t-1≤1，∴t≥-1，不合题意，舍去；
-1≤t≤0时，f（t）=1，此时f（t）≤1恒成立；
t＞0时，f（t）=2t+1≤1，∴t≤0，不合题意，舍去；
综上所述，t的取值范围为[-1，0]．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．