Question

15．我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（吨），用水量不超过 x 的部分按平价收费，超出 x 的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量的分布情况，通过抽样，获得了 100 位居民某年的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中 a 的值；
（Ⅱ）若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准 x（吨），估计 x 的值，并说明理由；
（Ⅲ）已知平价收费标准为 4 元/吨，议价收费标准为 8元/吨．当 x=3时，估计该市居民的月平均水费．（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）

Answer 1

分析 （I）根据频率和为1，列出方程求出a的值；
（II）求出月均用水量小于2.5吨和小于3吨的百分比，计算出有85%的居民每月用水量不超过标准的值；
（III）根据频率分布直方图，求出当 x=3时，估计该市居民的月平均水费．

解答 解：（Ⅰ）由频率分布直方图，
得：（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5=1，
解得：a=0.30；
（Ⅱ）∵前6组的频率之和是（0.08+0.16+0.30+0.40+0.52+0.30）×0.5=0.88＞0.85，
而前5组的频率之和为（0.08+0.16+0.30+0.40+0.52）×0.5=0.73＜0.85，
∴2.5≤x＜3，
由0.3×（x-2.5）=0.85-0.73，解得：x=2.9，
因此，估计月用水量标准为2.9吨时，
85%的居民每月的用水量不超过标准；
（Ⅲ）设居民月用水量为t吨，相应的水费为y元，
则y=$\left\{\begin{array}{l}{4t，0＜t≤3}\\{3×4+（t-3）×8，t＞3}\end{array}\right.$，即y=$\left\{\begin{array}{l}{4t，0＜t≤3}\\{8t-12，t＞3}\end{array}\right.$，
由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，
得居民每月的水费数据分组与频率分布表如下：

组号	1	2	3	4	5	6	7	8	9
分组	[0，2）	[2，4）	[4，6）	[6，8）	[8，10）	[10，12）	[12，16）	[16，20）	[20，24）
频率	0.04	0.08	0.15	0.20	0.26	0.15	0.06	0.04	0.02

根据题意，该市民的月平均水费估计为：
1×0.04+3×0.08+5×0.15+7×0.20+9×0.26+11×0.15+14×0.06+18×0.04+22×0.02=8.42（元）．

点评 本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，考查计算能力，难度不大，属于中档题．