Question

5．已知A，B，C是半径为l的圆O上的三点，AB为圆O的直径，P为圆O内一点（含圆周），则$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$$+\overrightarrow{PB}$$•\overrightarrow{PC}$$+\overrightarrow{PC}$$•\overrightarrow{PA}$的取值范围为[-$\frac{4}{3}$，4]．

Answer 1

分析 根据题意，把$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$$+\overrightarrow{PB}$$•\overrightarrow{PC}$$+\overrightarrow{PC}$$•\overrightarrow{PA}$化为3${\overrightarrow{OP}}^{2}$+2$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{OC}$-1，利用参数表示点C（cosα，sinα），P（rcosβ，rsinβ）且0≤r≤1；根据三角函数的有界性求出3${\overrightarrow{OP}}^{2}$+2$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{OC}$-1的最值即可．

解答 解：根据题意，$\overrightarrow{OA}$=-$\overrightarrow{OB}$，且|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=1，
∴$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$$+\overrightarrow{PB}$$•\overrightarrow{PC}$$+\overrightarrow{PC}$$•\overrightarrow{PA}$=（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OA}$）•（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OB}$）
+（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OC}$）+（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OA}$）
=3${\overrightarrow{PO}}^{2}$+2$\overrightarrow{PO}$•（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）+$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OA}$）•$\overrightarrow{OC}$
=3${\overrightarrow{OP}}^{2}$+2$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{OC}$-1，
以点O为坐标原点，建立直角坐标系，
设点C（cosα，sinα），点P（rcosβ，rsinβ），且0≤r≤1；
则3${\overrightarrow{OP}}^{2}$+2$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{OC}$-1=3r²-2rcos（α-β）-1，
∴3${\overrightarrow{OP}}^{2}$+2$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{OC}$-1≤3r²+2r-1≤4，
且3${\overrightarrow{OP}}^{2}$+2$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{OC}$-1≥3r²-2r-1≥-$\frac{4}{3}$；
∴$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$$+\overrightarrow{PB}$$•\overrightarrow{PC}$$+\overrightarrow{PC}$$•\overrightarrow{PA}$的取值范围是[-$\frac{4}{3}$，4]．
故答案为：[-$\frac{4}{3}$，4]．

点评 本题考查了平面向量的数量积和利用坐标表示向量以及三角函数的性质与应用问题，是难题．