Question

10．在锐角三角形ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若a=2bsinC，则tanA+tanB+tanC的最小值是（　　）

• A． 4
• B． $3\sqrt{3}$
• C． 8
• D． $6\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意求得tanB+tanC=2tanBtanC ①，tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC ②，化简tanA+tanB+tanC，利用基本不等式求得它的最小值．

解答 解：在锐角三角形ABC 中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC．
∵a=2bsinC，∴sinA=2sinBsinC，∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，
化简可得tanB+tanC=2tanBtanC  ①．
∵tanA=-tan（B+C）=$\frac{tanB+tanC}{tanBtanC-1}$＞0，∴tanB+tanC=tanA（tanBtanC-1），
∴tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC ②，且tanB•tanC-1＞0．
则tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC=$\frac{tanB+tanC}{tanBtanC-1}$•tanBtanC，令tanB•tanC-1=m，则m＞0，
故tanA+tanB+tanC=$\frac{tanB+tanC}{m}$•（m+1）=$\frac{2tanBtanC}{m}$•（m+1）=$\frac{2m+2}{m}$•（m+1）=$\frac{{2（m+1）}^{2}}{m}$=4+2m+$\frac{2}{m}$≥4+2$\sqrt{4}$=8，
当且仅当2m=$\frac{2}{m}$，即m=1时，取等号，此时，tanB•tanC=2，
故tanA+tanB+tanC的最小值是8，
故选：C．

点评 本题主要考查诱导公式，两角和差的正切公式，基本不等式的应用，属于中档题．