Question

7．设f（x）=$\frac{（4x+a）lnx}{3x+1}$，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x-1）恒成立，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：ln（4n+1）≤16$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{i}{（4i+1）（4i-3）}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，结合f'（1）=1列式求得a值；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a值代入函数解析式，由f（x）≤m（x-1）得到$4lnx≤m（{3x-\frac{1}{x}-2}）$，构造函数$g（x）=4lnx-m（{3x-\frac{1}{x}-2}）$，即?x∈[1，+∞），g（x）≤0．然后对m分类讨论求导求得m的取值范围；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当x＞1时，m=1时，$lnx≤\frac{1}{4}（{3x-\frac{1}{x}-2}）$成立．令$x=\frac{4i+1}{4i-3}，i∈{N^*}$，然后分别取i=1，2，…，n，利用累加法即可证明结论．

解答 （Ⅰ）解：$f'（x）=\frac{{（\frac{4x+a}{x}+4lnx）（3x+1）-3（4x+a）lnx}}{{{{（3x+1）}^2}}}$--------------（1分）
由题设f'（1）=1，∴$\frac{4+a}{4}=1$，即a=0；-------------（2分）
（Ⅱ）解：$f（x）=\frac{4xlnx}{3x+1}$，?x∈[1，+∞），f（x）≤m（x-1），即$4lnx≤m（{3x-\frac{1}{x}-2}）$，
设$g（x）=4lnx-m（{3x-\frac{1}{x}-2}）$，即?x∈[1，+∞），g（x）≤0．
$g'（x）=\frac{4}{x}-m（{3+\frac{1}{x^2}}）=\frac{{-3m{x^2}+4x-m}}{x^2}$，g'（1）=4-4m．----------------------------（3分）
①若m≤0，g'（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，这与题设g（x）≤0矛盾；
②若m∈（0，1），当$x∈（1，\frac{{2+\sqrt{4-3{m^2}}}}{3m}），g'（x）＞0$，g（x）单调递增，g（x）＞g（1）=0，与题设矛盾；
③若m≥1，当x∈（1，+∞），g'（x）≤0，g（x）单调递减，g（x）≤g（1）=0，即不等式成立；
综上所述，m≥1．------------------------------------------------------------------------（7分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当x＞1时，m=1时，$lnx≤\frac{1}{4}（{3x-\frac{1}{x}-2}）$成立．---------------（9分）
不妨令$x=\frac{4i+1}{4i-3}，i∈{N^*}$，
∴$ln\frac{4i+1}{4i-3}≤\frac{16i}{{（{4i+1}）（{4i-3}）}}$，
即$ln\frac{4+1}{4-3}≤\frac{16}{{（{4+1}）（{4-3}）}}$，$ln\frac{4×2+1}{4×2-3}≤\frac{16×2}{{（{4×2+1}）（{4×2-3}）}}$，$ln\frac{4×3+1}{4×3-3}≤\frac{16×3}{{（{4×3+1}）（{4×3-3}）}}$，…，$ln\frac{4n+1}{4n-3}≤\frac{16n}{{（{4n+1}）（{4n-3}）}}$．
累加可得：ln（4n+1）≤16$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{i}{（4i+1）（4i-3）}$（n∈N^*）．

点评 本题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等，是压轴题．