Question

3．已知椭圆$M：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率是$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其中一个焦点坐标为$（\sqrt{2}，0）$．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）若直线y=x+m与椭圆M交于A，B两点，且△OAB（O为坐标原点）面积为$\sqrt{2}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：c=$\sqrt{2}$，根据离心率公式e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可求得a的值，由b²=a²-c²=2，即可求得椭圆的方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，由△＞0，即可求得m的取值范围，由韦达定理即可求得x₁+x₂，x₁•x₂，根据弦长公式求得丨AB丨，由点到直线的距离公式求得点O到AB的距离，根据三角形的面积公式，即可求得求m的值．

解答 解：（1）由题意，$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}}\\{c=\sqrt{2}}\end{array}}\right.$，解得 $\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{c=\sqrt{2}}\end{array}}\right.$，
∴b²=a²-c²=2，
故所求椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$…（4分）
（2）由题意m≠0，由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1}\\{y=x+m}\end{array}}\right.$，整理得3x²+4mx+2m²-4=0，…（6分）
由△=（4m）²-4•3（2m²-4）=8（6-m²）＞0，可得0＜m²＜6（*）…（7分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x_1}+{x_2}=-\frac{4}{3}m，{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-4}}{3}$，…（9分）
故$|{AB}|=\sqrt{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}+{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}$=$\sqrt{2}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{2}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\sqrt{2}\sqrt{{{（-\frac{4m}{3}）}^2}-4•\frac{{2{m^2}-4}}{3}}$=$\frac{4}{3}\sqrt{6-{m^2}}$．
又点O到AB的距离为$d=\frac{|m|}{{\sqrt{2}}}$，…（12分）
故${S_{△OAB}}=\frac{1}{2}|AB|•d=\frac{{\sqrt{2}}}{3}\sqrt{{m^2}（6-{m^2}）}=\sqrt{2}$，
解得：$m=±\sqrt{3}$，且满足（*）．
所以m的值为$±\sqrt{3}$…（14分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式及三角形面积公式的综合运用，考查计算能力，属于中档题．