Question

20．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AB中点，F为CD₁中点．
（1）求证：EF∥平面ADD₁A₁；
（2）AB=2，求三棱锥D₁-DEF的体积．

Answer 1

分析 （1）取DD₁中点M，连接MA，MF，推导出AEFM是平行四边形，从而EF∥AM，由此能证明EF∥平面ADD₁A₁．
（2）三棱锥D₁-DEF的体积${V_{{D_1}-DEF}}={V_{E-{D_1}DF$．由此能求出结果．

解答 证明：（1）取DD₁中点M，连接MA，MF，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AB中点，F为CD₁中点．
∴$MF\underline{\underline∥}AE\underline{\underline∥}\frac{1}{2}DC$，
∴AEFM是平行四边形，∴EF∥AM，
又AM?平面ADD₁A₁，EF?平面ADD₁A₁，
∴EF∥平面ADD₁A₁．
解：（2）∵AB=2，
∴三棱锥D₁-DEF的体积：
${V_{{D_1}-DEF}}={V_{E-{D_1}DF}}=\frac{1}{3}{S_{△{D_1}DF}}×2=\frac{1}{3}×1×2=\frac{2}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．