Question

证明4ⁿ≥n⁴（n为大于3的正整数）．将4换成其他更大的数试试，说说有什么规律．（禁用数学归纳法）

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,导数的综合应用

分析：设y=

lnx

x

，求出导数，求出单调区间，则当x≥4且为整数时，有

lnx

x

≤

ln4

4

，化简整理，即可得证；将4换成其他更大的数，比如m，则mⁿ≥n^m（n≥m且n∈N）．

解答： 证明：设y=

lnx

x

，则y′=

1-lnx

x2

当x＞e时，y′＜0，y为减函数，当0＜x＜e时，y′＞0，y为增函数．
则当x≥4且为整数时，有

lnx

x

≤

ln4

4

，
即有4lnx≤xln4，即lnx⁴≤ln4^x，
即有4^x≥x⁴，
故有4ⁿ≥n⁴（n为大于3的正整数）．
将4换成其他更大的数，比如m，则mⁿ≥n^m（n≥m且n∈N）．

点评：本题考查不等式的证明，考查导数的运用：判断函数的单调性，考查单调性的应用，以及对数函数的单调性，属于中档题．