精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
(本小题13分)如图,棱锥的底面是矩形,⊥平面

(1)求证:⊥平面
(2)求二面角的大小;
(3)求点到平面的距离.
(1)见解析;(2);(3)

试题分析:(方法一)证明:(1)在中,
所以为正方形,因此. ∵⊥平面平面
.又∵, ∴⊥平面.                    ……4分               
(2)解:由⊥平面,知在平面内的射影,
,∴,知为二面角的平面角.   
又∵,∴ .                                     ……9分                                                    
(3)∵,∴
到面的距离为
,有,                        

.                                                        ……14分       
(方法二)证明:(Ⅰ)建立如图所示的直角坐标系,

.
中, ,
   ∵
,又∵, ∴⊥平面.          ……4分               
解:(2)由(Ⅰ)得.
设平面的法向量为,则
,∴  故平面的法向量可取为                               
⊥平面,∴为平面的法向量. 
设二面角的大小为,依题意可得
                                                          ……9分                                                     
(3)由(Ⅰ)得
设平面的法向量为
,即,∴
故平面的法向量可取为.                             
,∴到面的距离为.         ……14分
点评:解决空间中的平行、垂直以及距离等问题,有传统方法和向量方法两种方法,用传统方法时,要注意紧扣定理,把符合定理的条件都列出来;用向量方法时,运算量较大,要仔细、快速进行.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知四棱锥E-ABCD的底面为菱形,且∠ABC=60°,AB=EC=2,AE=BE=,O为AB的中点.

(Ⅰ)求证:EO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求点D到平面AEC的距离.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知在四棱锥中,底面是矩形,平面分别是的中点.

(1)求证:平面
(2)求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,正方形所在的平面与正方形所在的平面相互垂直,分别是的中点.
 
(1)求证:面
(2)求直线与平面所成的角正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本小题满分12分)四棱锥的底面是正方形,,点E在棱PB上.若AB=,
(Ⅰ)求证:平面;   
(Ⅱ)若E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=.

(Ⅰ)求证:平面PQB⊥平面PAD;
(Ⅱ)设PM="t" MC,若二面角M-BQ-C的平面角的大小为30°,试确定t的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本小题满分14分)
如图,在四面体PABC中,PA=PB,CA=CB,D、E、F、G分别是PA,AC、CB、BP的中点.

(1)求证:D、E、F、G四点共面;
(2)求证:PC⊥AB;
(3)若△ABC和△PAB都是等腰直角三角形,且AB=2,,求四面体PABC的体积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

关于直线a,b,c以及平面M,N,给出下面命题:
①若a//M,b//M, 则a//b  ②若a//M, b⊥M,则b⊥a   ③若aM,bM,且c⊥a,c⊥b,则c⊥M   ④若a⊥M, a//N,则M⊥N,其中正确命题的个数为(   )
A.0个B.1个C.2个D.3个

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知,则的位置关系是_______.

查看答案和解析>>

同步练习册答案