Question

已知四棱锥E－ABCD的底面为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝EC＝2，AE＝BE＝，O为AB的中点．

(Ⅰ)求证：EO⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求点D到平面AEC的距离．

Answer 1

(Ⅰ)详见解析； (Ⅱ) 点D到平面AEC的距离为．

试题分析：(Ⅰ)求证EO⊥平面ABCD，只需证明垂直平面内的两条直线即可，注意到，则为等腰直角三角形，是的中点，从而得，由已知可知为边长为２的等边三角形，可连接CO，利用勾股定理，证明EO⊥CO，利用线面垂直的判定，可得EO⊥平面ABCD；(Ⅱ)求点D到平面AEC的距离，求点到平面的距离方法有两种，一．垂面法，二．等体积法，此题的体积容易求，且的面积也不难求出，因此可利用等体积，即，从而可求点D到面AEC的距离．
试题解析：(Ⅰ)连接CO.                       
∵，∴△AEB为等腰直角三角形．              1分
∵O为AB的中点，∴EO⊥AB，EO＝1.                            2分
又∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ACB是等边三角形，
∴CO＝.                                                     3分
又EC＝2，∴EC²＝EO²＋CO²，∴EO⊥CO.                         4分
又CO?平面ABCD，EO平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.          6分
(Ⅱ)设点D到平面AEC的距离为h.
∵AE＝，AC＝EC＝2，∴S_△AEC＝.                             8分
∵S_△ADC＝，E到平面ACB的距离EO＝1，V_D－AEC＝V_E－ADC，         9分
∴S_△AEC·h＝S_△ADC·EO，∴h＝，                                11分
∴点D到平面AEC的距离为.                                  12分