Question

20．在函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+lnx的所有切线中，斜率最小的切线方程为4x-2y-3=0．

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，利用基本不等式求其最小值，进一步求出切点坐标，再由直线方程点斜式得答案．

解答 解：由f（x）=$\frac{1}{2}$x²+lnx，得f′（x）=x+$\frac{1}{x}$（x＞0），
∵x+$\frac{1}{x}$$≥2\sqrt{x•\frac{1}{x}}=2$（当且仅当x=$\frac{1}{x}$，即x=1时等号成立）．
∴切点坐标为（1，$\frac{1}{2}$），斜率为2．
则斜率最小的切线方程为$y-\frac{1}{2}=2（x-1）$，
即4x-2y-3=0．
故答案为：4x-2y-3=0．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．