Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）左，右焦点分别为F₁、F₂．若在双曲线右支上存在一点P使|PF₁|=4|PF₂|，则双曲线离心率e的取值范围是（　　）

• A、（1，

  5

  3

  ]
• B、（1，2]
• C、[

  5

  3

  ，2]
• D、[

  5

  3

  ，+∞）

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=3|PF₂|=2a，再根据点P在双曲线的右支上，可得|PF₂|≥c-a，从而求得此双曲线的离心率e的取值范围．

解答： 解：∵|PF₁|=4|PF₂|，
∴由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=3|PF₂|=2a，
∴|PF₂|=

2a

3

，
∵点P在双曲线的右支上，
∴|PF₂|≥c-a，
∴

2a

3

≥c-a，
∴e=

c

a

≤

5

3

，
∵e＞1，
∴1＜e≤

5

3

，
∴双曲线的离心率e的取值范围为（1，

5

3

]．
故选：A．

点评：本题考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．