Question

16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$\frac{sinB}{sinA+sinC}$=1-$\frac{sinC}{sinA+sinB}$，且b=5，acosC=-1．
（1）求角A；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）先化简，再根据正弦定理和余弦定理即可求出A的值；
（2）由余弦定理和b=5，acosC=-1，求出c，再根据三角面积公式即可求出．

解答 解：（1）在△ABC中，∵$\frac{sinB}{sinA+sinC}$=1-$\frac{sinC}{sinA+sinB}$，
∴sinB（sinA+sinB）=（sinA+sinC）（sinA+sinB）-sinC（sinA+sinC），
∴sin²B=sin²A+sinCsinB-sin²C，
由正弦定理，
∴b²=a²-c²+bc，
即bc=b²+c²-a²，
由余弦定理可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$，
（2）由余弦定理得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{2{b}^{2}-bc}{2ab}$=$\frac{2b-c}{2a}$=-$\frac{1}{a}$，
∴c-2b=2，
∴c=2b+2=12，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×5×12×\frac{\sqrt{3}}{2}$=15$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，关键是灵活应用这些定理，属于中档题．