Question

19．已知圆C：（x+1）²+y²=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足|AP|=|PM|，NP⊥MA，点N的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G，H（点G在F，H之间），且满足$\overrightarrow{FG}=λ\overrightarrow{FH}$，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用线段垂直平分线的性质推出|NC+|NA|=|NC|+|NM|=2$\sqrt{2}$＞2=|CA|，再利用椭圆的定义知，点N的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆，利用待定系数法求出椭圆的方程
（2）不妨设FH斜率为k，且将原点移至F，则直线FH方程为y=kx，则椭圆方程变为$\frac{{x}^{2}}{2}$+（y-2）²=1，将直线与椭圆方程联立得（1+2k²）x²-8kx+6=0，结合题设条件求参数λ的范围．

解答 解：（1）因为|AP|=|PM|，NP⊥MA，
所以NP为线段AM的垂直平分线，|NA|=|NM|，|NC+|NA|=|NC|+|NM|=2$\sqrt{2}$＞2=|CA|，
所以动点N的轨迹是以C（-1，0），A（1，0）为焦点的椭圆，…..（3分）
且长轴长为2A=2$\sqrt{2}$，焦距2c=2，所以A=$\sqrt{2}$，c=1，b²=1，
曲线E的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1…（5分）
（2）当斜率不存在时，直线与曲线E有2个交点此时参数的值为$λ=\frac{1}{3}$，
不妨设FH斜率为k，且将原点移至F，
则直线FH方程为y=kx，椭圆方程变为$\frac{{x}^{2}}{2}$+（y-2）²=1，
将直线方程代入椭圆得$\frac{{x}^{2}}{2}$+（kx-2）²=1，整理得（1+2k²）x²-8kx+6=0，
直线与曲线E有二不同的交点，故△=（-8k）²-4•6（1+2k²）=16k²-24＞0，即k²＞$\frac{3}{2}$，
因为左右对称，可以研究单侧，
当k＞0时，λ=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{-8k-\sqrt{16{k}^{2}-24}}{8k+\sqrt{16{k}^{2}-24}}$=$\frac{2-\sqrt{1-\frac{3}{2{k}^{2}}}}{2+\sqrt{1-\frac{3}{2{k}^{2}}}}$，
令t=$\sqrt{1-\frac{3}{2{k}^{2}}}$∈（0，1），则λ=$\frac{2-t}{2+t}$，t∈（0，1），
由于λ=$\frac{4}{2+t}$-1，故函数在t∈（0，1）上是减函数，故$\frac{1}{3}＜λ＜1$，
综上，实数λ的取值范围是$\frac{1}{3}≤λ＜1$．

点评 本题考查椭圆的定义的应用，轨迹方程的求法，考查计算能力．解题的关键是掌握圆锥曲线的定义，由题设条件判断出所求的轨迹是椭圆，以及能将求两线段比值的问题转化为坐标比值，以利于用直线与圆锥曲线的方程研究参数的取值范围