Question

13．设函数f（x）=$\sqrt{|x-1|+|x-2|-a}$．
（1）当a=5时，求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据二次根式的性质得到|x-1|+|x-2|-5≥0，解绝对值不等式求出函数的定义域即可；（2）问题转化为a≤|x-1|+|x-2|恒成立，根据绝对值的性质求出a的范围即可．

解答 解：（1）当a=5时，f（x）=$\sqrt{|x-1|+|x-2|-5}$，
由|x-1|+|x-2|-5≥0，
得$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{2x-8≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1≤x＜2}\\{-4≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{-2-2x≥0}\end{array}\right.$，
解得：x≥4或x≤-1，
即函数f（x）的定义域为{x|x≤-1或x≥4}．
（2）由题可知|x-1|+|x-2|-a≥0恒成立，
即a≤|x-1|+|x-2|恒成立，
而|x-1|+|x-2|≥|（x-1）+（2-x）|=1，
所以a≤1，即a的取值范围为（-∞，1]．

点评 本题考查了求函数的定义域问题，考查解绝对值不等式问题，是一道中档题．