Question

已知函数f（x）=2sin（2x+

π

6

）
（1）求函数f（x）的周期
（2）若α∈（0，

π

2

），β∈（π，2π），f（

α

2

-

π

12

）=

8

5

，f（

β

2

+

π

6

）=

10

13

，求cos（α+β）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值

分析：（1）由已知式子和周期公式可得；（2）由（1）和同角三角函数的基本关系可得cosα和sinβ，代入两角和的余弦公式可得．

解答： 解：（1）∵f（x）=2sin（2x+

π

6

），
∴函数f（x）的周期T=

2π

2

=π；
（2）由（1）知f（

α

2

-

π

12

）=2sinα=

8

5

，
f（

β

2

+

π

6

）=2sin（β+

π

2

）=2cosβ=

10

13

，
∴sinα=

4

5

，cosβ=

5

13

又∵α∈（0，

π

2

），β∈（π，2π），
∴cosα=

1-sin2α

=

3

5

，sinβ=-

1-cos2β

=-

12

13

∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
=

3

5

×

5

13

-

4

5

×(-

12

13

)=

63

65

．

点评：本题考查两角和与差的三角函数，涉及同角三角函数的基本关系和三角函数的周期，属基础题．