Question

已知圆O的方程为x²+y²=13，直线l：x₀x+y₀y=13，设点A（x₀，y₀）．
（1）若点A在圆O外，试判断直线l与圆O的位置关系；
（2）若点A在圆O上，且x₀=2，y₀＞0，过点A作直线AM，AN分别交圆O于M，N两点，且直线AM和AN的斜率互为相反数．
①若直线AM过点O，求tan∠MAN的值；
②试问：不论直线AM的斜率怎么变化，直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,直线的斜率

专题：

分析：（1）由点A在圆O外，可得x₀²+y₀² ＞13，求得圆心到直线的距离d小于半径，可得直线和圆相交．
（2）由条件求得点A（2，3）．①若直线AM过点O，求得AM的斜率，可得AN的斜率K_AN=-

3

2

，再利用两条直线的夹角公式求得tan∠MAN=|

KAM-KAN

1+KAM•KAN

|的值．
②由直线AM和AN的倾斜角互补，可得△AMN为等腰三角形，直线MN平行于x轴，故MN的斜率是0，为定值．

解答： 解：（1）∵点A在圆O外，∴x₀²+y₀² ＞13，
由于圆心（0，0）到直线l：x₀x+y₀y=13的距离d=

13

x02+y02

＜

13

=r，
故直线和圆相交．
（2）∵点A在圆O上，且x₀=2，y₀＞0，可得y₀=3，∴点A（2，3）．
①若直线AM过点O，则AM的斜率为 K_AM=

3

2

，∴K_AN=-

3

2

，tan∠MAN=|

KAM-KAN

1+KAM•KAN

|=|

3 2 + 3 2

1+ 3 2 (- 3 2 )

|=

12

5

．
②不论直线AM的斜率怎么变化，∵直线AM和AN的斜率互为相反数，
∴直线AM和AN的倾斜角互补，故△AMN为等腰三角形，
直线MN平行于x轴，故MN的斜率是0，为定值．

点评：本题主要考查点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，直线的倾斜角和斜率，两条直线的夹角公式的应用，属于基础题．