Question

（1）证明：当a＞1时，不等式a³+

1

a3

＞a²+

1

a2

成立．
（2）要使上述不等式a³+

1

a3

＞a²+

1

a2

成立，能否将条件“a＞1”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由．
（3）请你根据（1）、（2）的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明．

Answer 1

考点：不等式的证明,类比推理

专题：证明题,分类讨论

分析：（1）用作差比较法证明不等式，把差化为因式积的形式，判断符号，得出结论．
（2）由于a-1与a⁵-1同号，对任何a＞0且a≠1 恒成立，故上述不等式的条件可放宽为a＞0且a≠1．
（3）左式-右式等于

1

nm

(am-n-1)(am+n-1)，根据m＞n＞0，分a＞1 和0＜a＜1 两种情况讨论．

解答： 解：（1）证明：a3+

1

a3

-a2-

1

a2

=

1

a3

(a-1)(a5-1)，∵a＞1，∴

1

a3

（a-1）（a⁵-1）＞0，
∴原不等式成立．
（2）∵a-1与a⁵-1同号对任何a＞0且a≠1 恒成立，∴上述不等式的条件可放宽为a＞0且a≠1．
（3）根据（1）（2）的证明，可推知：若a＞0且a≠1，m＞n＞0，则有am+

1

nm

＞an+

1

nn

．
证：左式-右式=am-an+

1

nm

-

1

nn

=an(am-n -1)-

1

am

（a^m-n-1）
=（a^m-n-1）（ aⁿ-

1

am

）=

1

am

（a^m-n-1）（a^m+n-1），
若a＞1，则由m＞n＞0 可得 

1

am

＞0，a^m-n-1＞0，a^m+n-1＞0，∴不等式成立．
若0＜a＜1，则由m＞n＞0 可得 

1

am

＞0，0＜a^m-n＜1，0＜a^m+n＜1，∴不等式成立．

点评：本题考查不等式性质的应用，用比较法证明不等式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．