Question

15．甲、乙两人组成“风云队”参加某电视台举办的汉字听写大赛活动，每一回合由主持人说出一个词语，并由两们选手各自按照要求规则听写，在每一回合中，如果两人都写对，则“风云队”得2分；如果只有一个写对，则“风云队”得1分；如果两人都没写对，则“风云队”得0分．已知甲每一回合写对的概率是$\frac{3}{4}$，乙每一回合写对的概率是$\frac{1}{2}$；每一回合中甲、乙写对与否互不影响，各回合结果互不影响，假设“风云队”参加了两个回合的活动．
（1）求“风云队”在两个回合中至少写对3个词语的概率；
（2）X表示“风云队”两个回合得分之和，求X的分布列和数学期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）“风云队”至少写对3个词语包含“甲写对1个，乙写对2个”，“甲写对2个，乙写对1个”，“甲写对2个，乙写对2个”三个基本事件，进而可得答案；
（2）由已知可得：“风云队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，进而得到X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）“风云队”至少写对3个词语包含“甲写对1个，乙写对2个”，
“甲写对2个，乙写对1个”，“甲写对2个，乙写对2个”三个基本事件，
故概率P=${C}_{2}^{1}•\frac{3}{4}•（1-\frac{3}{4}）•（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{3}{4}）^{2}•{C}_{2}^{1}•\frac{1}{2}•（1-\frac{1}{2}）$$+（\frac{3}{4}）^{2}•（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{33}{64}$；
（2）“风云队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，
则P（X=0）=$（1-\frac{3}{4}）^{2}•（1-\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{1}{64}$，
P（X=1）=2×[$\frac{3}{4}•（1-\frac{3}{4}）•（1-\frac{1}{2}）^{2}+（1-\frac{3}{4}）^{2}•\frac{1}{2}•（1-\frac{1}{2}）$]=$\frac{1}{8}$，
P（X=2）=$\frac{3}{4}•（1-\frac{1}{2}）•\frac{3}{4}•（1-\frac{1}{2}）$$+\frac{3}{4}•（1-\frac{1}{2}）•（1-\frac{3}{4}）•\frac{1}{2}$$+（1-\frac{3}{4}）•\frac{1}{2}•\frac{3}{4}•（1-\frac{1}{2}）$$+（1-\frac{3}{4}）•\frac{1}{2}•（1-\frac{3}{4}）•\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=3）=2×$\frac{3}{4}•\frac{1}{2}•（1-\frac{3}{4}）•（1-\frac{1}{2}）$=$\frac{3}{32}$，
P（X=4）=2×[$\frac{3}{4}•（1-\frac{3}{4}）•（\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{2}•（1-\frac{1}{2}）•（\frac{3}{4}）^{2}$]=$\frac{3}{8}$，
P（X=6）=$（\frac{3}{4}）^{2}•（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{9}{64}$．
故X的分布列如下图所示：

X	0	1	2	3	4	6
P	$\frac{1}{64}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{32}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{9}{64}$

∴数学期望EX=0×$\frac{1}{64}$+1×$\frac{1}{8}$+2×$\frac{1}{4}$+3×$\frac{3}{32}$+4×$\frac{3}{8}$+6×$\frac{9}{64}$=$\frac{13}{4}$．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题．