Question

已知A、B为椭圆

x2

4

+y²=1的左、右顶点．P（异于A、B）为椭圆上动点，PQ⊥AB于Q，

PR

=λ

PQ

（λ＜0），直线AR与BP交于点M，则当λ=

 

时，M到O的距离为定值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：如图所示，由图可知：当BM⊥AR时，|OM|=

1

2

|AB|=a=2为定值．设P（m，n），则Q（m，0），由

PR

=λ

PQ

（λ＜0），可得

OR

=

OP

+λ

PQ

=（m，n-λn）．由

AR

•

PB

=4-m²-n（n-λn）=0，及

m2

4

+n2=1，即可解出．

解答： 解：如图所示，
由图可知：当BM⊥AR时，|OM|=

1

2

|AB|=a=2为定值．
设P（m，n），则Q（m，0），
∵

PR

=λ

PQ

（λ＜0），
∴

OR

=

OP

+λ

PQ

=（m，n-λn）．
∴

AR

=（m+2，n-λn），

PB

=（2-m，-n），
∴

AR

•

PB

=4-m²-n（n-λn）=0，
又

m2

4

+n2=1，
∴4n²-n（n-λn）=0，
解得λ=-3．
故答案为：-3．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系、直角三角形斜边中线的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．