Question

判断二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＜0）在区间[-

b

2a

，+∞）上的增减性并依定义给出证明．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：设x₁，x₂∈[-

b

2a

，+∞)且x₁＜x₂，求出f（x₁）-f（x₂）＞0，从而判断出函数的单调性．

解答： 解：f（x）在[-

b

2a

，+∞)上是减函数，设x₁，x₂∈[-

b

2a

，+∞)且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=a（x12-x22）+b（x₁-x₂）=a（x₁-x₂）（x₁+x₂+

b

a

），
∵x₁，x₂∈[-

b

2a

，+∞)∴-

b

a

＜x₁+x₂＜+∞
∴x₁+x₂+

b

a

＞0，而x₁-x₂＜0，a＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＜0）在区间[-

b

2a

，+∞)上是减函数．

点评：本题考察了二次函数的单调性，利用定义研究函数的单调性，本题是一道基础题．