Question

（1）求函数f（x）=-x²+2x+3（-2≤x≤3）的值域．
（2）求方程lg（3-x）-lg（3+x）=lg（1-x）-lg（2x+1）的实数解．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）通过函数的单调性求函数的值域问题，（2）将方程变形为（3-x）（2x+1）=（1-x）（3+x），解出即可；

解答： （1）求函数f（x）=-x²+2x+3（-2≤x≤3）的值域．
解：∵函数f（x）=-x²+2x+3=-（x-1）²+4在区间[-2，1]上是单调增函数，
∴当-2≤x≤1时，f（-2）≤f（x）≤f（1），即-5≤f（x）≤4，
∵函数f（x）在区间[1，3]上是单调减函数，
∴当1≤x≤3时，f（3）≤f（x）≤f（1），即0≤f（x）≤4；
∴函数f（x）=-x²+2x+3（-2≤x≤3）的值域为[-5，4]∪[0，4]=[-5，4]．
（2）解方程lg（3-x）-lg（3+x）=lg（1-x）-lg（2x+1）
解：由原对数方程得lg（3-x）+lg（2x+1）=lg（1-x）+lg（3+x），
lg[（3-x）（2x+1）]=lg[（1-x）（3+x）]，
于是（3-x）（2x+1）=（1-x）（3+x），x²-7x=0
解这个方程，得x₁=0，x₂=7．
经检验：x₂=7是增根，
因此，原方程的实数根是x=0．

点评：本题考查了函数的值域问题，解方程问题，考查转化思想，是一道基础题．