Question

【题目】已知函数 .
（Ⅰ）当 时，求函数 在 处的切线方程；
（Ⅱ）试判断函数 零点的个数.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当 时， ， ，
∵ ， ，∴ 在 处的切线方程为 ，即 ；
（Ⅱ）由题知， 的定义域为 ，
.
①当 时，对于定义域中任意 ，有 ， 在 上是增函数.
又 ，并且当 时， ，∴ 有唯一的零点；
②当 时，在 上 ， 单调递减；在 上， ， 单调递增.
又当 时， ，并且 .这是因为： .
设 ，则 .记 ，则 .
∵在 上， ， 单调递减；在 上， ， 单调递增，
∴ 的最小值为 ，即 成立，∴在区间 内存在一点 ，使得 .
则函数 零点的个数取决于 的最小值的正负.又函数 的最小值为 .记 ，则 是 上的增函数.又观察，得 ，∴当 时， 的最小值小于0，即 有两个零点；
当 时， 的最小值为0， 有唯一的零点；当 时， 的最小值大于0， 没有零点.
综上所述，当 或 时， 有唯一的零点；当 时， 有两个零点；当 时， 没有零点
【解析】(1)由题意把a的值代入函数的解析式，对其求导并把x=1的值代入导函数的代数式，求出切线的方程的斜率再由点斜式求出直线的方程。(2)首先求出原函数的导函数，对a分情况讨论出导函数的正负进而得出原函数的单调性，从而得出原函数的零点存在情况即可。