【题目】如图,在 中, , . 分别是边 上的点,且 .现将 沿直线 折起,形成四棱锥 ,则此四棱锥的体积的最大值是 .
【答案】
【解析】作 于点 ,交 于点 ,由勾股定理有: ,
由相似三角形的性质有: , ,
设 ,则 ,
四棱锥体积最大时,必须满足平面 平面 ,
四棱锥的底面积: ,
四棱锥的高 ,据此可得体积函数:
,
则 ,令 可得: ,
结合函数的定义域可得:
函数在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,
则此四棱锥的体积的最大值是 .
首先根据折叠的性质得到折叠后的边的值,设 E F = x ( 0 < x < 6 ) ,则 P E = 6 x,由题意可知四棱锥体积最大时,必须满足平面 P C D ⊥ 平面 A B C D ,进而得到面积关于x的二次函数的代数式从而求出体积的表达式,对其求导可得出原函数在区间 ( 0 , 6 2 3 ) 上单调递增,在区间 ( 6 2 3 , 6 ) 上单调递减,从而求出体积的最大值。
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,正方体 的棱长为1, 分别是棱 的中点,过 的平面与棱 分别交于点 .设 , .
①四边形 一定是菱形;② 平面 ;③四边形 的面积 在区间 上具有单调性;④四棱锥 的体积为定值.
以上结论正确的个数是( )
A.4
B.3
C.2
D.1
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设抛物线 的焦点为 ,准线为 ,点 在抛物线 上,已知以点 为圆心, 为半径的圆 交 于 两点.
(Ⅰ)若 , 的面积为4,求抛物线 的方程;
(Ⅱ)若 三点在同一条直线 上,直线 与 平行,且 与抛物线 只有一个公共点,求直线 的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 名同学(男 人,女 人),给所有同学几何题和代数题各一题,让各位同学只能自由选择其中一道题进行解答.选题情况如下表(单位:人):
几何题 | 代数题 | 总计 | |
男同学 | 22 | 8 | 30 |
女同学 | 8 | 12 | 20 |
总计 | 30 | 20 | 50 |
几何题 | 代数题 | 总计 | |
男同学 | 22 | 8 | 30 |
女同学 | 8 | 12 | 20 |
总计 | 30 | 20 | 50 |
附表及公式:
(1)能否据此判断有 的把握认为视觉和空间能力与性别有关?
(2)现从选择做几何题的 名女生中,任意抽取两人,对她们的答题情况进行全程研究,记甲、乙两位女生被抽到的人数为 ,求 的分布列和 .
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【题目】已知中心在原点 ,焦点在 轴上,离心率为 的椭圆过点 .
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆与 轴的非负半轴交于点 ,过点 作互相垂直的两条直线,分别交椭圆于点 , 两点,连接 ,求 的面积的最大值.
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