Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(－4，0)、C(4，0)，半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得的弦长为 r.

(1)求圆M的方程；（2)当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1） ;(2) 存在两条直线y＝3和4x＋3y－9＝0与动圆M均相切.

【解析】试题分析：（1）根据圆心在弦的中垂线上求得线段AC的垂直平分线方程为y＝2x＋3，可知圆心在这条线上，设圆心为M(a，2a＋3)再有垂径定理构造方程求解即可；（2）由直线和圆相切的性质得到＝r，圆心到直线的距离为半径，再根据方程恒等得到

对应系数相等即可；

(1)由题意C(0，－2)，A(－4，0)，

所以线段AC的垂直平分线方程为y＝2x＋3.

设M(a，2a＋3)(a＞0)，则圆M的方程为(x－a)2＋(y－2a－3)2＝r2.

圆心M到y轴的距离d＝a，由r2＝d2＋，得a＝.

所以圆M的方程为＋(y－r－3)2＝r2.

(2)假设存在定直线l与动圆M均相切．当定直线的斜率不存在时，不合题意．

设直线l：y＝kx＋b，则＝r对任意r＞0恒成立．

由，得r2＋(k－2)(b－3)r＋(b－3)2＝(1＋k2)r2.

所以解得或

所以存在两条直线y＝3和4x＋3y－9＝0与动圆M均相切.