Question

【题目】如图，圆O为△ABC的外接圆，过点C作圆O的切线交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线交AC于点E，∠ACB的平分线交AD于点H．

（1）求证：CH⊥DE；
（2）若AE=2CE．证明：DC=2DB．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，

设DE与BC交于点F，则∠CFE=∠CDF+∠DCF，∠DEC=∠EDA+∠DAE，

因为DC为圆O的切线，

所以∠DCF=∠DAE，

又因DE为∠ADC的平分线，

所以∠CDF=∠EDA，

所以∠DEC=∠CFE

即∠CEF=∠CFE，所以△CFE为等腰三角形，

又因CH为∠ACB的平分线，所以CH⊥EF，

即CH⊥DE

（2）证明：因DC为圆O的切线，

所以DC2=DBDA，

又因DE为∠ADC的平分线，AE=2CE，

所以 ，所以 =2，

即DC=2DB

【解析】（1）证明∠CEF=∠CFE，所以△CFE为等腰三角形，又因CH为∠ACB的平分线，所以CH⊥EF，即可证明CH⊥DE；（2）证明DC2=DBDA，因DE为∠ADC的平分线，AE=2CE．即可证明：DC=2DB．