Question

5．如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC=2
（1）求证：AM⊥平面EBC
（2）（文）求三棱锥C-ABE的体积．
（2）（理）求二面角A-EB-C的大小．

Answer 1

分析 （1）推导出EA⊥AC，从而EA⊥平面ABC，以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，以AC和AE为y轴和z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能证明AM⊥平面EBC．
（2）（文）由V_C-ABE=V_E-ABC，能求出三棱锥C-ABE的体积．
（2）（理）求出平面EAB的法向量和平面EBC的一个法向量，利用向量法能求出二面角A-EB-C的大小．

解答 证明：（1）∵四边形ACDE是正方形，∴EA⊥AC，
∵平面ACDE⊥平面ABC，∴EA⊥平面ABC，
∴以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，以AC和AE为y轴和z轴，
建立如图空间直角坐标系A-xyz．
设EA=AC=BC=2，则A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，2），
∵M是正方形ACDE的对角线的交点，∴M（0，1，1）．
$\overrightarrow{AM}$=（0，1，1），$\overrightarrow{EC}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{CB}$=（2，0，0），
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{EC}$=0，$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{CB}$=0，∴AM⊥EC，AM⊥CB，
∴AM⊥平面EBC．
（2）（文） V_C-ABE=V_E-ABC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$=$\frac{4}{3}$．
（2）（理）设平面EAB的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{AE}$，且$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0$，且$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2z=0}\\{2x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0）．
又∵$\overrightarrow{AM}$为平面EBC的一个法向量，且$\overrightarrow{AM}$=（0，1，1），
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AM}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{AM}|}$=-$\frac{1}{2}$，
设二面角A-EB-C的平面角为θ，则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AM}$＞|=$\frac{1}{2}$，
∴θ=60°．
∴二面角A-EB-C的大小为60°．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥体积的求法，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．