Question

若函数f（x）的定义域为R，且存在常数m＞0，对任意x∈R，有|f（x）|≤m|x|，则称f（x）为F函数．给出下列函数：
①f（x）=x²，②f（x）=sinx+cosx，③f(x)=

x

x2+x+1

，④f（x）是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2012|x₁-x₂|，⑤f(x)=x

1

2

，其中是F函数的有

③④

．

Answer 1

分析：本题是一个新定义的题目，故依照定义的所给的规则对所四个函数进行逐一验证，选出正确的即可．

解答：解：对于①，∵f（x）=x²，∴|f（x）|≤m|x|不成立，故①不是F-函数；
对于②，∵f（x）=sinx+cosx，∴x=0时，|f（x）|＜m|x|不成立，故②不是F函数；
对于③，∵f(x)=

x

x2+x+1

，∴要使|f（x）|≤m|x|成立，
即|

x

x2+x+1

|≤m|x|，
当x=0时，m可取任意正数；当x≠0时，只须m≥|

x

x2+x+1

|的最大值．
因为x²+x+1=（x+

1

2

）2+

3

4

≥

3

4

，
所以m≥

4

3

时，f(x)=

x

x2+x+1

是F函数，故③是F函数；
对于④，∵f（x）是定义在R上的奇函数，
且满足对一切实数x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|，
∴令x₁=x，x₂=0，由奇函数的性质知，f（0）=0，
故有|f（x）|＜2|x|．故④是F函数．
对于⑤，∵f(x)=x

1

2

，∴|f（x）|≤m|x|不成立，故⑤不是F函数．
故答案为：③④．

点评：本题考查根据所给的新定义来验证函数是否满足定义中的规则，是函数知识的给定应用题，综合性较强，做题时要注意运用所深知识灵活变化进行证明．