Question

设无穷等比数列的公比为q，且，表示不超过实数的最大整数（如）,记，数列的前项和为，数列的前项和为.

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）若对于任意不超过的正整数n，都有，证明：.

（Ⅲ）证明：（）的充分必要条件为.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）答案详见解析；（Ⅲ）答案详见解析.

【解析】 

即

（Ⅱ）证明：因为 ，所以 ，.

因为 ，

所以 ，.

（必要性）因为对于任意的，，

当时，由，得；

当时，由，，得. 

所以对一切正整数n都有.

由 ，，得对一切正整数n都有，

所以公比为正有理数.

假设 ，令，其中，且与的最大公约数为1.

因此，.