Question

已知函数f（x）=2asinωxcosωx+2

3

cos²ωx-

3

（a＞0，ω＞0）的最大值为2，且最小正周期为π．
（I）求函数f（x）的解析式及其对称轴方程；
（II）若f（a）=

4

3

，求sin（4α+

π

6

）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）根据条件函数最值和周期，利用三角函数的公式进行化简即可求a和ω的值，即可求出函数的解析式和对称轴方程；
（Ⅱ）根据f（a）=

4

3

，利用余弦函数的倍角公式进行化简即可求sin（4α+

π

6

）的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2asinωxcosωx+2

3

cos²ωx-

3

=asin2ωx+

3

cos2ωx=

a2+3

sin（2ωx+φ）
∵f（x）的最小正周期为T=π
∴2ω=

2π

T

=2，ω=1，
∵f（x）的最大值为2，
∴

a2+3

=2，
即a=±1，
∵a＞0，∴a=1．
即f（x）=2sin（2x+

π

3

）．
由2x+

π

3

=

π

2

+kπ，
即x=

π

12

+

kπ

2

，（k∈Z）．
（Ⅱ）由f（α）=

4

3

，得2sin（2α+

π

3

）=

4

3

，
即sin（2α+

π

3

）=

2

3

，
则sin（4α+

π

6

）=sin[2（2α+

π

3

）-

π

2

]=-cos2（2α+

π

3

）=-1+2sin²（2α+

π

3

）=-1+2×（

2

3

）²=-

1

9

．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用条件求出函数的解析式是解决本题的关键．同时也考查三角函数倍角公式的应用．