Question

2．（1）已知cos（$\frac{π}{4}$+x）=$\frac{3}{5}$，（$\frac{17π}{12}$＜x＜$\frac{7π}{4}$），求$\frac{sin2x+2si{n}^{2}x}{1-tanx}$的值．
（2）若$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是夹角60°的两个单位向量，求$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$与$\overrightarrow{b}$=-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夹角．

Answer 1

分析 （1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得 sin（x+$\frac{π}{4}$）的值，可得tan（x+$\frac{π}{4}$）的值，求出正弦函数与余弦函数值，即可求表达式的值．
（2）利用向量的数量积公式以及向量的模的运算法则化简求解即可．

解答 解：（1）∵$\frac{17π}{12}$＜x＜$\frac{7π}{4}$，∴x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{5π}{3}$，2π），再结合cos（$\frac{π}{4}$+x）=$\frac{3}{5}$＞0，可得sin（x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{4}{5}$，∴tan（x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{4}{3}$．
由$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosα-sinα）=$\frac{3}{5}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinα+cosα）=-$\frac{4}{5}$，解得sinα=$-\frac{9\sqrt{2}}{10}$，cosα=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$，tanα=9．
$\frac{sin2x+2si{n}^{2}x}{1-tanx}$=$\frac{2×\frac{9\sqrt{2}}{10}×\frac{\sqrt{2}}{10}+2（\frac{9\sqrt{2}}{10}）^{2}}{1-9}$=-$\frac{9}{20}$．
（2）$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是夹角60°的两个单位向量，$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$与$\overrightarrow{b}$=-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
可得cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-6+2+\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}}{\sqrt{4+1+4\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}}•\sqrt{9+4-12\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}}}$=$\frac{-4+\frac{1}{2}}{\sqrt{7}•\sqrt{7}}$=$-\frac{1}{2}$．
$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$与$\overrightarrow{b}$=-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夹角为：120°．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式的应用，向量的数量积的应用，属于中档题．