Question

17．把正整数排成如图（a）的三角形阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数，第奇数行中的所有偶数，可得如图（b）三角形阵，现将图（b）中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列{a_n}，若a_k=2017，则k=1031．

Answer 1

分析 由题意可以得出，图1中第n行有2n-1个数，且每行的最后一个数恰好是行号的平方，由此可以确定出a_k=2017在图a中的位置，图b中每行的数字数等于行号，由此可以计算出前n行共有多少个数字，结合图a即可求出2017在图b中的位置，从而得出k的值．

解答 解：由题意，图a中第n行有2n-1个数，
前n行有n×$\frac{1+2n-1}{2}$=n×n=n²个数，
图b知各行数字个数等于行数，故前n行共有n×$\frac{1+n}{2}$=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∵图a每行的最后一个数恰好是行号的平方，45×45=2025，
故2017是第45行倒数第9个数，
由图b知各行数字个数等于行数，故前45行共有45×$\frac{1+45}{2}$=1035，
由于最后一个数是奇数，
按图b规则知，2017是第45行倒数第5个数，故k=1035-4=1031，
故答案为：1031．

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．