Question

20．如图所示，四边形ABCD是边长为4菱形，O是AC与BD的交点，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF=2$\sqrt{2}$．
（1）求证：EO⊥平面AFC；
（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．

Answer 1

分析 以BD所在的直线为x轴，AC所在的直线为y轴，O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
（1）证明$\overrightarrow{OE}⊥\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{OE}⊥\overrightarrow{CF}$，然后证明EO⊥平面AFC．
（2）求出$\overrightarrow{CF}=（-2，-2\sqrt{3}，\sqrt{2}）$，$\overrightarrow{AE}=（2，2\sqrt{3}，2\sqrt{2}）$，设直线AE与直线CF所成角的角为θ，通过向量的数量积求解直线AE与直线CF所成角的余弦值．

解答 解：∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵∠ABC=120°，AB=BC=CD=AD=4，∴$BD=4，AC=4\sqrt{3}$，
以BD所在的直线为x轴，AC所在的直线为y轴，O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
易知B（2，0，0），$E（2，0，2\sqrt{2}）$，D（-2，0，0），$F（-2，0，\sqrt{2}）$，$C（0，2\sqrt{3}，0）$，$A（0，-2\sqrt{3}，0）$，…（2分）
（1）证明：$\overrightarrow{OE}=（2，0，2\sqrt{2}）$，$\overrightarrow{AC}=（0，4\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{CF}=（-2，-2\sqrt{3}，\sqrt{2}）$
∵$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{AC}=0$，$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{CF}=-4+0+4=0$
∴$\overrightarrow{OE}⊥\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{OE}⊥\overrightarrow{CF}$，即EO⊥AC，EO⊥CF，AC∩CF=C，AC，CF?平面AFC
∴EO⊥平面AFC…（8分）
（2）由（1）$\overrightarrow{CF}=（-2，-2\sqrt{3}，\sqrt{2}）$，$\overrightarrow{AE}=（2，2\sqrt{3}，2\sqrt{2}）$
设直线AE与直线CF所成角的角为θ，则$cosθ=|{cos＜\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{CF}＞}|=\frac{{|{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}}|}}{{|{\overrightarrow{AE}}|•|{\overrightarrow{CF}}|}}=\frac{12}{{3\sqrt{2}×2\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
直线AE与直线CF所成角的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理以及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．