Question

13．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A是锐角，且$\sqrt{3}$b=2asinB，若a=2，则△ABC的面积的最大值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 根据正弦定理，将已知等式化简可得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合A为锐角，即可得解A的值，利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式即可得出．

解答 （本题满分为14分）
解：∵$\sqrt{3}$b=2asinB，
∴由正弦定理，得：$\sqrt{3}$sinB=2sinAsinB，
∵B为三角形内角，可得sinB＞0，…（3分）
∴2sinA=$\sqrt{3}$，得到sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，…（5分）
∵A为锐角，
∴A=$\frac{π}{3}$．
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，可得：4=b²+c²-bc，
∴4≥2bc-bc=bc，当且仅当b=c时取等号．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
∴△ABC的面积的最大值是$\sqrt{3}$．…（14分）
故选：B．

点评 本题给出三角形的边角关系，求A的大小，同时考查余弦定理、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式，考查了运算求解能力和逻辑思维能力，属于中档题．