Question

2．已知圆C：x²+y²-8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0
（1）当直线l与圆C相切时，求a的值；
（2）当a=-1时，直线l与圆C相交于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）由条件利用圆的标准方程求出圆心和半径，再根据直线和圆相切的性质，求得a的值．
（2）由题意可求得圆心C到直线l的距离为d=$\frac{|0-4+2|}{\sqrt{2}}$ 的值，再利用弦长公式求得|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$ 的值．

解答 解：（1）∵圆C：x²+y²-8y+12=0，即x²+（y-4）² =4，
表示以C（0，4）为圆心，半径等于2的圆；
∵直线l：ax+y+2a=0，
当直线l与圆C相切时，圆心到直线的距离等于半径，
即$\frac{|0+4+2a|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=2，求得a=-$\frac{3}{4}$．
（2）当a=-1时，直线l即-x+y-2=0，即 x-y+2=0，
圆心C到直线l的距离为d=$\frac{|0-4+2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
故弦长|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$=2$\sqrt{4-2}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查圆的标准方程，直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．