Question

7．已知函数f（x）=3^|x|-3^-x．
（1）若f（x）=4，求x的值；
（2）若3^t•f（2t）+m•f（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当x≤0时得到f（x）=0而f（x）=4，所以无解；当x≥0时解出f（x）=4求出x即可；
（2）由3^t•f（2t）+m•f（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，得到m≥-（3^2t+1）对于t∈[1，2]恒成立，即可得到m的范围即可．

解答 解：（1）当x＜0时，f（x）=3^-x-3^-x=0，
∴f（x）=4无解；
当x≥0时，3^x-3^-x=4，
∴（3^x）²-4•3^x-1=0，
∵3^x＞0，
∴3^x=2+$\sqrt{5}$．
∴x=log₃（2+$\sqrt{5}$）．
（2）∵3^t•f（2t）+m•f（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，
∴3^t•（3^2t-3^-2t）+m•（3^t-3^-t）≥0对于t∈[1，2]恒成立
∵t∈[1，2]，
∴3^t-3^-t＞0，
∴m≥-（3^2t+1）对于t∈[1，2]恒成立，
设y=-（3^2t+1），
∵t∈[1，2]，
∴3^t∈[3，9]，
∴当3^t=3时，y取到最大值是-10，
∴m≥-10．

点评 本题考查了指数型复合函数的性质，主要利用整体思想和指数函数性质，以及二次函数的性质进行求解，属于中档题．