Question

已知函数f（x）=e^x-

1

2

ax²-2x
（1）当a=0时，求证：f（x）＞0恒成立；
（2）记y=f（x）为函数y=f（x）的导函数，y=f″（x）为函数y=f′（x）的导函数，对于连续函数y=f（x），我们定义：若f″（x₀）=0且在x₀两侧f″（x）异号，则点（x₀，f（x₀））为曲线y=f（x）的拐点，是否存在正实数a，使得函数f（x）=e^x-

1

2

ax²-2x在其拐点处切线的倾斜角a为

5π

6

，若存在求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：导数的运算,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数和函数的最值的关系，即可证明，
（2）根据定义求出二次导数，再根据导数的几何意义，求出切线的斜率，即可求出a的值．

解答： 解：（1）∵a=0，f（x）=e^x-2x，
∴f′（x）=e^x-2，
令f′（x）=0，解得x=ln2，
当f′（x）＞0，解得x＞ln2，函数单调递增，
当f′（x）＜0，解得0＜x＜ln2，函数单调递减，
当x=ln2时，函数有最小值，
f（x）＞f（ln2）=e^ln2-2ln2=lne²-ln4=ln

e2

4

＞0，
∴f（x）＞0恒成立；
（2）∵f（x）=e^x-

1

2

ax²-2x，
∴f′（x）=e^x-ax-2，
∴f″（x）=e^x-a，
令f″（x₀）=e^x₀-a，解得x₀=lna，a＞0，
∵拐点处切线的倾斜角a为

5π

6

，
∴k=tan

5π

6

=-

3

3

，
∴lna=-

3

3

，
解得a=e-

3

3

＞0，
∴存在正实数a═e-

3

3

，使得函数f（x）=e^x-

1

2

ax²-2x在其拐点处切线的倾斜角a为

5π

6

．

点评：本题考查了导数和函数的最值的关系，以及导数的几何意义，属于中档题