Question

关于x的不等式（ax-1）（lnx+ax）≥0在（0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,导数的综合应用

分析：分类讨论，将不等式转化，即可求出实数a的取值范围．

解答： 解：a＜0，则lnx+ax≤0，令y=lnx+ax，则y′=

1

x

+a，
∴0＜x＜-

1

a

时，y′＞0，x＞-

1

a

时，y′＜0
∴x=-

1

a

时，函数取得最大值ln（-

1

a

）-1，
∵lnx+ax≤0，
∴ln（-

1

a

）-1≤0，∴-

1

e

≤a＜0；
a=0时，则lnx≤0，在（0，+∞）上不恒成立，不合题意；
a＞0时，

ax-1≥0 lnx+ax≥0

或

ax-1≤0 lnx+ax≤0

，无解，
综上，-

1

e

≤a＜0．

点评：本题考查求实数a的取值范围，考查导数知识，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．