Question

如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．若

AC

AB

=

3

5

，
（Ⅰ）求证：OD∥AE；
（Ⅱ）求

AF

FD

的值．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：推理和证明

分析：（Ⅰ）连接OD，BC，设BC交OD于点M，则∠OAD=∠ODA，从而∠ODA=∠DAE，由此能证明OD∥AE．
（Ⅱ）由已知得四边形CMDE为平行四边形，从而CE=MD，由

AC

AB

=

3

5

，设AC=3x，AB=5x，则OM=

3

2

x，MD=x，从而AE=AC+CE=4x，由此能求出

AF

FD

的值．

解答： （Ⅰ）证明：连接OD，BC，设BC交OD于点M．
因为OA=OD，所以∠OAD=∠ODA，（2分）
又因为∠OAD=∠DAE，所以∠ODA=∠DAE，
所以OD∥AE．（4分）
（Ⅱ）解：因为AC⊥BC，且DE⊥AC，所以BC∥DE．
所以四边形CMDE为平行四边形，所以CE=MD，（6分）
由

AC

AB

=

3

5

，设AC=3x，AB=5x，则OM=

3

2

x，
又OD=

5

2

x，所以MD=

5

2

x-

3

2

x=x，
所以AE=AC+CE=4x，
因为OD∥AE，所以

AF

FD

=

AE

OD

=

4x

5 2 x

=

8

5

．（10分）

点评：本题考查直线与直线平行的证明，考查两线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的简单性质的合理运用．