Question

函数f（x）=cos³x+sin²x-cosx在[0，2π）上的最大值为

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：导数的综合应用,三角函数的求值

分析：令cosx=t，由 x∈[0，2π），可得-1≤t≤1，f（x）=g（t）=（1-t²） （1-t），再利用导数研究函数的单调性，由函数的单调性求得函数的最值．

解答： 解：函数f（x）=cos³x+sin²x-cosx=cos³x+1-cos²x-cosx=（1-cos²x）（1-cosx）．
令 cosx=t，∵x∈[0，2π），可得-1≤t≤1，f（x）=g（t）=（1-t²）（1-t），
∴g′（t）=3t²-2t-1．
令g′（t）=0，求得t=1，或t=-

1

3

．
再根据导数的符号可得g（t）的增区间为[-1，-

1

3

]，减区间为（-

1

3

1]．
故当t=-

1

3

时，函数g（t）取得最大值为

32

27

．
故答案为：

32

27

．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，由函数的单调性求函数的最值，属中档题．