Question

如图，AB为圆O的直径，四方形ABCD为正方形，点E，F在圆O上，AD⊥AF，AB=AF=2．
（1）求证：EF∥平面ABCD；
（2）求三棱锥B-CEF的体积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得∠AFB=90°，∠ABF=∠EBF=30°，从而OB=OE=BE=AF=2，进而EF∥AB，由此能证明EF∥平面ABCD．
（2）由已知得CB⊥平面BEF，且CB=4，又S△BEF=

1

2

×BE×EF×sin∠BEF，再由V_B-CEF=V_C-BEF，能求出三棱锥B-CEF的体积．

解答： （1）证明：根据题意，得∠AFB=90°，∠ABF=∠EBF=30°，
∴OB=OE=BE=AF=2，
∴∠ABF=∠EFB=30°，
∴EF∥AB，
又AB?平面ABCD，EF?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB⊥AD，
又AD⊥AF，
所以AD⊥平面ABEF，从而平面ABCD⊥平面ABEF，
∵AB⊥BC
∴CB⊥平面BEF，且CB=4，
又S△BEF=

1

2

×BE×EF×sin∠BEF
=

1

2

×2×2×sin120°=

3

，
所以V_B-CEF=V_C-BEF=

1

3

S△BE×CB=

1

3

×

3

×4=

4 3

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明、三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属中档题．