Question

已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=1，点A（0，-1）与B（0，1），P为圆C上动点，当|PA|²+|PB|²取最大值时点P坐标是

 

．

Answer 1

考点：圆的标准方程

专题：计算题,直线与圆

分析：设P（x，y），则d=|PA|²+|PB|²=x²+（y+1）²+x²+（y-1）²=2（x²+y²）+2，

x2+y2

的几何意义是P（x，y）到原点的距离，由直线y=

4

3

x与圆C：（x-3）²+（y-4）²=1，可得（5x-12）（5x-18）=0，即可求出当|PA|²+|PB|²取最大值时点P坐标．

解答： 解：设P（x，y），则d=|PA|²+|PB|²=x²+（y+1）²+x²+（y-1）²=2（x²+y²）+2，

x2+y2

的几何意义是P（x，y）到原点的距离，
由已知，圆心C（3，4），半径为1，C到O的距离|CO|=5，
∴

x2+y2

的最大值是5+1=6，
∴d的最大值为2×6²+2=74，
由直线y=

4

3

x与圆C：（x-3）²+（y-4）²=1，可得（5x-12）（5x-18）=0，
∴x=

12

5

或x=

18

5

，
∴当|PA|²+|PB|²取最大值时点P坐标是（

18

5

，

24

5

）．
故答案为：（

18

5

，

24

5

）．

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，正确转化是关键．