Question

S_n+a_n=n，S_n为数列a_n的前n项和，证明：

1

2a1

+

2

22a2

+

1

23a3

+…+

1

2nan

＜2．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得到a_n=1-（

1

2

）ⁿ．从而

1

2nan

=

1

2n(1- 1 2n )

=

1

2n-1

=

2n+1

(2n+1)(2n-1)

=

2n+1

4n-1

＜

2n+2

4n

=

1

2n

+

4

2n

，由此利用放缩法和分组求和法能证明

1

2a1

+

2

22a2

+

1

23a3

+…+

1

2nan

＜2．

解答： 解：∵S_n+a_n=n，
∴n≥2时，S_n-1+a_n-1=n-1，
两式相减得S_n-S_n-1+a_n-a_n-1=1，
∴2a_n-a_n-1=1，
∴2（a_n-1）-（a_n-1-1）=0，
∴

an-1

an-1-1

=

1

2

，∴数列{a_n-1}是以

1

2

为公比的等比数列，
又∵S₁+a₁=2a₁=1，∴a₁=

1

2

，a1-1=-

1

2

，
∴an-1=-

1

2

×(

1

2

)n-1=-（

1

2

）ⁿ，
∴a_n=1-（

1

2

）ⁿ．
∴

1

2nan

=

1

2n(1- 1 2n )

=

1

2n-1

=

2n+1

(2n+1)(2n-1)

=

2n+1

4n-1

＜

2n+2

4n

=

1

2n

+

4

2n

，
∴

1

2a1

+

2

22a2

+

1

23a3

+…+

1

2nan

=

1

2-1

+

1

22-1

+…+

1

2n-1

＜（

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

）+2（

1

4

+

1

42

+

1

43

+…+

1

4n

）
=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

+2×

1 4 (1- 1 4n )

1- 1 4

=1-

1

2n

+

1

3

×2-

2

3

×

1

4n

＜1+

2

3

＜2．
∴

1

2a1

+

2

22a2

+

1

23a3

+…+

1

2nan

＜2．

点评：本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意到放缩法、构造法和分组求和法的合理运用．