Question

过点P（2，3）的直线l将圆Q：（x-1）²+（y-1）²=16分成两段弧，当形成的优弧最长时，则
（1）直线l的方程为

 

；
（2）直线l被圆Q截得的弦长为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）设圆心为Q（1，1），由圆的性质得，当直线l⊥PQ时，形成的优弧最长，l应与圆心与Q点的连线垂直，求出直线的斜率即可得出直线l的方程；
（2）求出圆心Q（1，1）直线x+2y-8=0的距离，利用弦长公式可得结论．

解答： 解：（1）设圆心为Q（1，1），由圆的性质得，当直线l⊥PQ时，形成的优弧最长，
此时k_PQ=

3-1

2-1

=2，所以直线l的斜率为-

1

2

．
于是由点斜式得直线l的方程为y-3=-

1

2

（x-2），即x+2y-8=0；
（2）圆心Q（1，1）直线x+2y-8=0的距离为d=

|1+2-8|

1+4

=

5

，
设直线l与圆Q相交于点A，B，则弦长|AB|=2

42-( 5 )2

=2

11

．
故答案为：x+2y-8=0；2

11

．

点评：本题考查直线与圆的位置关系和直线被圆截得弦长的计算．第（1）问利用直线l⊥PQ时，形成的优弧最长可求出直线的斜率，进而求出直线L的方程；第（2）问先求出圆心到直线l的距离，再计算直线l被圆截得的弦长．