Question

在正方形ABCD中，E为AB的中点P是A为圆心，AB为半径的圆弧

BD

上的任意一点．
（1）若向正方形ABCD内撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在扇形ABD内的概率为

 

；
（2）设∠PAB=θ，向量

AC

=λ

DE

+μ

AP

（λ，μ∈R），若μ-λ=1，则θ=

 

．

Answer 1

考点：几何概型

专题：概率与统计

分析：（1）利用几何概型，所求概率为扇形ABD与正方形ABCD比值；
（2）不妨设正方形边长为1以A坐标原点，AB，AD线为x轴，y建立直角坐标系，将相关向量用坐标表示，利用向量相等得到用θ表示的λ，μ的方程组解之．

解答： 解：（1）所求概率为扇形ABD与正方形ABCD比值，设正方形边长为a，所求概率为P=

1 4 πa2

a2

=

π

4

；
（2）不妨设正方形边长为1以A坐标原点，AB
AD线为x轴，y建立直角坐标系，则

DE

=（

1

2

，-1），

AC

=（1，1），

AP

=（cosθ，sinθ），

AC

=λ

DE

+μ

AP

，

1 2 λ+μcosθ=1 -λ+μsinθ=1

，所以

λ= 2sinθ-2cosθ sinθ+2cosθ μ= 3 sinθ+2cosθ

，所以μ-λ=1，sinθ=1，θ=

π

2

；
故答案为：

π

4

，

π

2

．

点评：本题是一道涉及几何概型和向量知识的综合问题．第（1）题是几何概型问题，求解转化为扇形的面积与正方形面积的比来解决；第（2）问是关于平面向量线性运算的考题，解题时可建立适当的坐标系，用向量的坐标运算来实现转化．若假设正方形边长为1，则点P单位圆上，就可以考虑引入三角函数来表示点P坐