Question

已知函数f（x）=sin（x-φ）-1（0＜φ＜

π

2

），且

∫

2π 3 0

（f（x）+1）dx=0，则函数f（x）的一个零点是（　　）

• A、

  5π

  6

• B、

  π

  3

• C、

  π

  6

• D、

  7π

  12

Answer 1

考点：定积分,函数的零点

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：把f（x）=sin（x-φ）-1代入

∫

2π 3 0

（f（x）+1）dx=0，由定积分求得φ，得到函数解析式，再由f（x）=0求得函数f（x）的一个零点．

解答： 解：由f（x）=sin（x-φ）-1且

∫

2π 3 0

（f（x）+1）dx=0，
得

∫

2π 3 0

[sin（x-φ）]dx=0，∴[-cos（x-φ）]

|

2π 3 0

=0．
即-cos(

2π

3

-φ)+cos(-φ)=0，∴sin(φ-

π

3

)=0．
∵0＜φ＜

π

2

，∴φ=

π

3

，
则f（x）=sin（x-

π

3

）-1，
由sin（x-

π

3

）-1=0，解得：x=

5π

6

+2kπ，k∈Z．
取k=0，得x=

5π

6

．
故选：A．

点评：本题考查了定积分，考查了由三角函数值求角，训练了函数零点的判断方法，是中档题．