Question

△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且asinA-bsinB=（c-b）sinC．
（1）求A；
（2）若B=

π

3

，点M在边BC上，且BC=3CM，AM=2

7

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由asinA-bsinB=（c-b）sinC，由正弦定理可得：a²-b²=c²-bc，再利用余弦定理即可得出．
（2）由B=

π

3

，A=

π

3

．可得△ABC是等边三角形，设AB=a，则BM=

2

3

a．在△ABM中，由余弦定理可得：AM²=AB²+BM²-2BA•BM•cosB，解出即可．

解答： 解：（1）∵asinA-bsinB=（c-b）sinC，由正弦定理可得：a²-b²=c²-bc，化为b²+c²-a²=bc，
由余弦定理可得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，又A∈（0，π），∴A=

π

3

．
（2）∵B=

π

3

，A=

π

3

．∴△ABC是等边三角形，
设AB=a，则BM=

2

3

a．
在△ABM中，由余弦定理可得：AM²=AB²+BM²-2BA•BM•cosB，
∴(2

7

)2=a2+(

2

3

a)2-2×a×

2

3

acos

π

3

，
化为a²=36，
解得a=6．
∴S_△ABC=

3

4

a2=9

3

．

点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．