Question

已知等比数列{a_n}中，1≤|a_n|≤

2

，求证：数列{a_n}为常数列．

Answer 1

考点：等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：当|q|＞1时，a₁=1，|a_n|=|a₁q^n-1|=

2

，则|a_n+1|=|

2

q|＞

2

，不成立；当0＜|q|＜1时，a₁=

2

，|a_n|=1，则|a_n+1|=|

2

q|＜1，不成立，由此得到数列{a_n}为常数列．

解答： 证明：∵等比数列{a_n}中，1≤|a_n|≤

2

，
当|q|＞1时，
∴a₁=1，|a_n|=|a₁q^n-1|=

2

，则|a_n+1|=|

2

q|＞

2

，不成立；
当0＜|q|＜1时，
a₁=

2

，|a_n|=1，则|a_n+1|=|

2

q|＜1，不成立，
∴q=1．
∴数列{a_n}为常数列．

点评：本题考查数列{a_n}为常数列的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．