Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=

1

2

n（n+1），n∈N^*，b_n=3^a_n+（-1）^n-1a_n，则数列{b_n}的前2n+1项和为（　　）

• A、

  32n+2-1

  2

  +n
• B、

  1

  2

  •3²ⁿ⁺²+n+

  1

  2

• C、

  32n+2-1

  2

  -n
• D、

  1

  2

  •3²ⁿ⁺²-n+

  3

  2

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由数列的前n项和求出数列{a_n}的通项公式，代入b_n=3^a_n+（-1）^n-1a_n，整理后分组，然后利用等比数列的前n项和得答案．

解答： 解：当n=1时，a₁=S1=

1

2

×1×2=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

n(n+1)-

1

2

(n-1)n=n．
故a_n=n．
∴b_n=3^a_n+（-1）^n-1a_n=3ⁿ+（-1）^n-1n，
则数列{b_n}的前2n+1项和S2n+1=(31+32+…+32n+1)+[1-2+3-4+…+（2n-1）-2n+（2n+1）]
=

3(1-32n+1)

1-3

+(n+1)=

32n+2-1

2

+n．
故选：A．

点评：本题考查了数列递推式，考查了数列的分组求和，考查了等比数列的前n项和，是中档题．